Taux de variation et interprétation géométrique

Difficile
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Énoncé

Soit .

  1. Calculer le taux de variation de entre et (). Simplifier.
  2. Que représente géométriquement ce taux de variation ?
  3. Calculer la limite quand . Que représente cette limite ?
  4. Écrire l'équation de la tangente à au point d'abscisse .

Indices

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1 Indice 1
Calculez d'abord $f(1+h)$ en développant $(1+h)^2$, puis $f(1)$, avant de former le quotient $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
2 Indice 2
Simplifiez le numérateur : les termes constants doivent s'annuler, il ne doit rester qu'un facteur commun à $h$ que vous pourrez simplifier avec le dénominateur.
3 Indice 3
Le taux de variation correspond à la pente d'une sécante ; sa limite quand $h\to 0$ donne la pente de la tangente, c'est-à-dire le nombre dérivé $f'(1)$.

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La méthode — par où commencer

Calculez d'abord en développant , puis , avant de former le quotient .

Simplifiez le numérateur : les termes constants doivent s'annuler, il ne doit rester qu'un facteur commun à que vous pourrez simplifier avec le dénominateur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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