Quatre points coplanaires à partir d'une relation vectorielle

Intermédiaire

Énoncé

Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ et $E$ vérifient la relation :

$2 E A + 4 E B - 5 E C - E D = 0$

Montrer que les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont coplanaires.

Indices

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1 Indice 1

Observe la somme des coefficients : $2 + 4 - 5 - 1 = 0$. Cette somme nulle te permet d'éliminer le point $E$ en utilisant la relation de Chasles avec un point de référence, par exemple $A$.

2 Indice 2

Remplace chaque vecteur $\overrightarrow{EB}$, $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{ED}$ par $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD}$. Le terme en $\overrightarrow{EA}$ va disparaître !

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Observe la somme des coefficients : $2 + 4 - 5 - 1 = 0$ . Cette somme nulle te permet d'éliminer le point $E$ en utilisant la relation de Chasles avec un point de référence, par exemple $A$ .

Remplace chaque vecteur $E B$ , $E C$ et $E D$ par $E A + A B$ , $E A + A C$ et $E A + A D$ . Le terme en $E A$ va disparaître !

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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