A B C D est un tétraèdre et M , N , P , Q sont les points définis par : A M = 3 2 A B , A N = 4 3 A C , C P = − 2 1 C D , A Q = 2 1 A D Écrire M N , M P et M Q en fonction de A B , A C et A D . Écrire le vecteur 2 M N − M P en fonction de A B et A D . Montrer que les points M , N , P et Q sont coplanaires.

Quatre points coplanaires dans un tétraèdre

Difficile

Énoncé

$A B C D$ est un tétraèdre et $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ sont les points définis par :

$A M = \frac{2}{3} A B, A N = \frac{3}{4} A C, C P = - \frac{1}{2} C D, A Q = \frac{1}{2} A D$

Écrire $M N$ , $M P$ et $M Q$ en fonction de $A B$ , $A C$ et $A D$ .
Écrire le vecteur $2 M N - M P$ en fonction de $A B$ et $A D$ .
Montrer que les points $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ sont coplanaires.

Indices

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1 Indice 1

Choisis $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ comme base et exprime $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{AQ}$ dans cette base (attention, $\overrightarrow{CP}$ dépend de $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$).

2 Indice 2

Utilise la relation de Chasles $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$ (et de même pour $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$) pour obtenir les trois vecteurs en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$.

3 Indice 3

Pour la coplanarité, calcule $2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}$ et compare le résultat à $\overrightarrow{MQ}$ : si l'un est combinaison linéaire des deux autres, les quatre points sont coplanaires.

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Choisis $(A B, A C, A D)$ comme base et exprime $A M$ , $A N$ , $A P$ , $A Q$ dans cette base (attention, $C P$ dépend de $C D = A D - A C$ ).

Utilise la relation de Chasles $M N = A N - A M$ (et de même pour $M P$ , $M Q$ ) pour obtenir les trois vecteurs en fonction de $A B$ , $A C$ , $A D$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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