A B C D E F G H est un cube. Soit I le milieu de [ A H ] et J le point de [ F I ] tel que F J = 3 2 F I . Montrer que F I = F E + 2 1 E A + 2 1 E H . Montrer que E J = 3 1 ( A B + A D − A E ) . En déduire que les points E , J et C sont alignés.

Points alignés dans un cube (décomposition vectorielle)

Difficile

Énoncé

$A B C D E F G H$ est un cube. Soit $I$ le milieu de $[A H]$ et $J$ le point de $[F I]$ tel que $F J = \frac{2}{3} F I$ .

Montrer que $F I = F E + \frac{1}{2} E A + \frac{1}{2} E H$ .
Montrer que $E J = \frac{1}{3} (A B + A D - A E)$ .
En déduire que les points $E$ , $J$ et $C$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Choisis une base de vecteurs non coplanaires, par exemple $\\overrightarrow{AB}$, $\\overrightarrow{AD}$, $\\overrightarrow{AE}$, et exprime chaque sommet du cube dans cette base.

2 Indice 2

Pour $\\overrightarrow{FI}$, insere le point $E$ (relation de Chasles) et utilise que $I$ est le milieu de $[AH]$ pour ecrire $\\overrightarrow{EI}$ comme demi-somme.

3 Indice 3

Pour l'alignement, exprime $\\overrightarrow{EC}$ dans la meme base que $\\overrightarrow{EJ}$ et verifie si l'un est un multiple scalaire de l'autre.

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Choisis une base de vecteurs non coplanaires, par exemple $o v er r i g h t a r r o w A B$ , $o v er r i g h t a r r o w A D$ , $o v er r i g h t a r r o w A E$ , et exprime chaque sommet du cube dans cette base.

Pour $o v er r i g h t a r r o w F I$ , insere le point $E$ (relation de Chasles) et utilise que $I$ est le milieu de $[A H]$ pour ecrire $o v er r i g h t a r r o w E I$ comme demi-somme.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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