A B C D E F G H est un cube. Soit I le milieu de [ A H ] et J le point de [ F I ] tel que F J = 3 2 F I . Écrire E C en fonction de A B , A D et A E . Montrer que F I = F E + 2 1 E A + 2 1 E H . Montrer que E J = 3 1 ( A B + A D − A E ) . En déduire que les points E , J et C sont alignés.

Alignement de points dans un cube

Difficile

Énoncé

$A B C D E F G H$ est un cube. Soit $I$ le milieu de $[A H]$ et $J$ le point de $[F I]$ tel que $F J = \frac{2}{3} F I$ .

Écrire $E C$ en fonction de $A B$ , $A D$ et $A E$ .
Montrer que $F I = F E + \frac{1}{2} E A + \frac{1}{2} E H$ .
Montrer que $E J = \frac{1}{3} (A B + A D - A E)$ .
En déduire que les points $E$ , $J$ et $C$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Utilise la relation de Chasles $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ en remplaçant $\overrightarrow{BC}$ par $\overrightarrow{AD}$ (propriété du cube).

2 Indice 2

Pour $\overrightarrow{FI}$, décompose via $A$ : $\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AI}$ avec $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}$, puis exprime $\overrightarrow{AH}$ en fonction de $\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{EH}$.

3 Indice 3

Pour l'alignement final, compare l'expression de $\overrightarrow{EJ}$ obtenue à celle de $\overrightarrow{EC}$ trouvée à la question 1 : cherche un facteur de colinéarité.

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La méthode — par où commencer

Utilise la relation de Chasles $E C = E A + A B + B C$ en remplaçant $B C$ par $A D$ (propriété du cube).

Pour $F I$ , décompose via $A$ : $F I = F A + A I$ avec $A I = \frac{1}{2} A H$ , puis exprime $A H$ en fonction de $E A$ et $E H$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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