A B C D est un tétraèdre. Les points M , N , P et Q sont définis par : A M = 3 2 A B ; A N = 4 3 A C ; C P = − 2 1 C D ; A Q = 2 1 A D Écrire M N , M P et M Q en fonction de A B , A C et A D . Écrire le vecteur 2 M N − M P en fonction de A B et A D . Montrer que les points M , N , P et Q sont coplanaires.

Coplanarité de quatre points dans un tétraèdre

Difficile

Énoncé

$A B C D$ est un tétraèdre. Les points $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ sont définis par :

$A M = \frac{2}{3} A B; A N = \frac{3}{4} A C; C P = - \frac{1}{2} C D; A Q = \frac{1}{2} A D$

Écrire $M N$ , $M P$ et $M Q$ en fonction de $A B$ , $A C$ et $A D$ .
Écrire le vecteur $2 M N - M P$ en fonction de $A B$ et $A D$ .
Montrer que les points $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ sont coplanaires.

Indices

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1 Indice 1

Exprime chaque vecteur ($\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$) en passant par $A$, en utilisant la relation de Chasles et les données $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{CP}$, $\overrightarrow{AQ}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, calcule $2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}$ en développant et en simplifiant les coefficients de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$.

3 Indice 3

Compare le résultat obtenu à l'expression de $\overrightarrow{MQ}$ trouvée à la question 1 : si les deux coïncident, tu peux conclure sur la coplanarité.

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Exprime chaque vecteur ( $M N$ , $M P$ , $M Q$ ) en passant par $A$ , en utilisant la relation de Chasles et les données $A M$ , $A N$ , $C P$ , $A Q$ .

Pour la question 2, calcule $2 M N - M P$ en développant et en simplifiant les coefficients de $A B$ , $A C$ , $A D$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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