Montrer que ∀ x > 0 , 0 ≤ x 2 s i n ( x ) ≤ x 2 1 . En déduire x → + ∞ lim x 2 sin ( x ) . Calculer x → + ∞ lim x x + cos x . Calculer x → + ∞ lim x cos x .

Théorème des gendarmes

Intermédiaire

Énoncé

Montrer que $\forall x > 0$ , $0 \leq \frac{s i n ( x )}{x ^{2}} \leq \frac{1}{x ^{2}}$ .
En déduire $x \to + \infty lim \frac{sin ( x )}{x ^{2}}$ .
Calculer $x \to + \infty lim \frac{x + cos x}{x}$ .
Calculer $x \to + \infty lim \frac{cos x}{x}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la première question, rappelle-toi que $\sin(x)$ est toujours compris entre $-1$ et $1$. Que peux-tu en déduire sur $|\sin(x)|$ puis sur $\left|\dfrac{\sin(x)}{x^2}\right|$ ?

2 Indice 2

Une fois l'encadrement obtenu, tu as $-\dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{\sin(x)}{x^2} \leq \dfrac{1}{x^2}$. Calcule la limite des deux bornes quand $x \to +\infty$, puis applique le théorème des gendarmes.

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La méthode — par où commencer

Pour la première question, rappelle-toi que $sin (x)$ est toujours compris entre $- 1$ et $1$ . Que peux-tu en déduire sur $∣ sin (x) ∣$ puis sur $\frac{sin ( x )}{x ^{2}}$ ?

Une fois l'encadrement obtenu, tu as $- \frac{1}{x ^{2}} \leq \frac{sin ( x )}{x ^{2}} \leq \frac{1}{x ^{2}}$ . Calcule la limite des deux bornes quand $x \to + \infty$ , puis applique le théorème des gendarmes.

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