Continuité et prolongement

Intermédiaire
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Énoncé

Soit pour .

  1. Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0. Préciser la valeur.
  2. Même question pour en .
  3. Soit pour . Déterminer et donner le prolongement par continuité.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$, rappelle-toi la limite classique vue en cours quand $x$ tend vers $0$. Pour $g(x)$, factorise le numérateur $x^2 - 3x + 2$ en cherchant ses racines. Pour $h(x)$, multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{1+x} + 1$.
2 Indice 2
Une fois que tu as trouvé les limites en utilisant ces techniques, le prolongement par continuité consiste simplement à définir la valeur de la fonction au point problématique comme étant égale à cette limite. Vérifie que tu simplifies bien les expressions avant de calculer.

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La méthode — par où commencer

Pour , rappelle-toi la limite classique vue en cours quand tend vers . Pour , factorise le numérateur en cherchant ses racines. Pour , multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée .

Une fois que tu as trouvé les limites en utilisant ces techniques, le prolongement par continuité consiste simplement à définir la valeur de la fonction au point problématique comme étant égale à cette limite. Vérifie que tu simplifies bien les expressions avant de calculer.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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