Limites dépendant d'un entier $n$

Difficile
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Énoncé

Soit . Calculer les limites suivantes.

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, utilisez l'identité de factorisation $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)$ pour simplifier le quotient avant de passer à la limite.
2 Indice 2
Pour la question 2, écrivez $-n$ comme une somme de $n$ termes égaux à $-1$, afin de regrouper le numérateur en une somme de différences $(x^k-1)$, puis appliquez le résultat de la question 1 à chaque terme.
3 Indice 3
Pour la question 3, posez $u=\cos x$ (avec $u\to 1$ quand $x\to 0$) et transformez $\dfrac{1-u^n}{1-u^2}$ en un rapport de deux quotients du type de la question 1, l'un avec $n$ et l'autre avec $2$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, utilisez l'identité de factorisation pour simplifier le quotient avant de passer à la limite.

Pour la question 2, écrivez comme une somme de termes égaux à , afin de regrouper le numérateur en une somme de différences , puis appliquez le résultat de la question 1 à chaque terme.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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