Paramètres pour une limite finie Soit f définie sur ] 2 3 ; + ∞ [ − { 2 } par : f ( x ) = x − 2 a ( x − 1 − 1 ) si x < 2 f ( x ) = x − 2 2 x − 3 − b si x > 2 avec a , b ∈ R . Déterminer a et b pour que f admette une limite finie en 2 . Soit g ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 3 − a x x + b avec a , b ∈ R . Déterminer a et b pour que g admette une limite finie en + ∞ .

Détermination de paramètres pour une limite finie

Difficile

Énoncé

Paramètres pour une limite finie

Soit $f$ définie sur $] \frac{3}{2}; + \infty [- {2}$ par :
$f (x) = \frac{a ( x - 1 - 1 )}{x - 2} si x < 2$
$f (x) = \frac{2 x - 3 - b}{x - 2} si x > 2$
avec $a, b \in R$ . Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ admette une limite finie en $2$ .
Soit $g (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 3 - a x x + b$ avec $a, b \in R$ . Déterminer $a$ et $b$ pour que $g$ admette une limite finie en $+ \infty$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque branche, multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée afin d'éliminer la racine carrée.

2 Indice 2

Après simplification, chaque limite latérale dépend de $a$ ou $b$ : pour qu'une limite finie existe en $2$, il faut d'abord que le numérateur ne tende pas vers une constante non nulle (choix de $b$), puis que les limites à gauche et à droite coïncident (choix de $a$).

3 Indice 3

Pour la question 2, multiplie par la conjuguée pour lever la forme $\infty-\infty$, puis identifie les coefficients des termes de plus haut degré qui doivent s'annuler pour que la limite reste finie.

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Pour chaque branche, multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée afin d'éliminer la racine carrée.

Après simplification, chaque limite latérale dépend de $a$ ou $b$ : pour qu'une limite finie existe en $2$ , il faut d'abord que le numérateur ne tende pas vers une constante non nulle (choix de $b$ ), puis que les limites à gauche et à droite coïncident (choix de $a$ ).

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