Irrationalite de racine carree de n^2+1

Difficile
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Irrationalite encadree

Montrer que pour tout : .

Indices

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1 Indice 1
Raisonnez par l'absurde : supposez que $\\sqrt{n^2+1}$ soit un entier, puis cherchez à l'encadrer entre deux entiers consécutifs.
2 Indice 2
Comparez $n^2+1$ à $n^2$ et à $(n+1)^2 = n^2+2n+1$. Que vaut $2n$ pour $n \\in \\mathbb{N}^*$ ?
3 Indice 3
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\\mathbb{R}^+$ : que devient l'encadrement $n^2 < n^2+1 < (n+1)^2$ après passage à la racine ?

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La méthode — par où commencer

Raisonnez par l'absurde : supposez que soit un entier, puis cherchez à l'encadrer entre deux entiers consécutifs.

Comparez à et à . Que vaut pour ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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