Factorielles et telescopage Pour n ∈ N , on pose n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n avec 0 ! = 1 ! = 1 . Calculer 2 ! , 4 ! et 5 ! . On pose U k = k ! pour k ∈ N ∗ . Montrer que U k + 1 − U k = k ⋅ ( k !) . En déduire S n = 1 ( 1 !) + 2 ( 2 !) + ⋯ + n ( n !) en fonction de n .

Factorielles et somme k(k!)

Intermédiaire

Énoncé

Factorielles et telescopage

Pour $n \in N$ , on pose $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ avec $0! = 1! = 1$ .

Calculer $2!$ , $4!$ et $5!$ .
On pose $U_{k} = k!$ pour $k \in N^{*}$ . Montrer que $U_{k + 1} - U_{k} = k \cdot (k!)$ .
En déduire $S_{n} = 1 (1!) + 2 (2!) + \dots + n (n!)$ en fonction de $n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 2, développe $(k+1)!$ en utilisant la définition : $(k+1)! = (k+1) \times k!$. Ensuite, mets $k!$ en facteur dans l'expression $U_{k+1} - U_k$.

2 Indice 2

Pour la question 3, utilise le résultat précédent : écris chaque terme $k(k!) = U_{k+1} - U_k$. Quand tu additionnes de $k=1$ à $k=n$, presque tout s'annule ! Que reste-t-il au début et à la fin ?

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Pour la question 2, développe $(k + 1)!$ en utilisant la définition : $(k + 1)! = (k + 1) \times k!$ . Ensuite, mets $k!$ en facteur dans l'expression $U_{k + 1} - U_{k}$ .

Pour la question 3, utilise le résultat précédent : écris chaque terme $k (k!) = U_{k + 1} - U_{k}$ . Quand tu additionnes de $k = 1$ à $k = n$ , presque tout s'annule ! Que reste-t-il au début et à la fin ?

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