Somme avec produit de trois facteurs Montrer que pour tout k ∈ N ∗ : k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 1 = 2 1 ( k ( k + 1 ) 1 − ( k + 1 ) ( k + 2 ) 1 ) . En déduire que pour tout n ∈ N ∗ : k = 1 ∑ n k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 1 = 4 ( n + 1 ) ( n + 2 ) n ( n + 3 ) .

Somme de 1/(k(k+1)(k+2))

Difficile

Montrer que pour tout $k \in N^{*}$ : $\frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k ( k + 1 )} - \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )})$ .
En déduire que pour tout $n \in N^{*}$ : $k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{n ( n + 3 )}{4 ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'identité, mets le membre de droite au même dénominateur $2k(k+1)(k+2)$ et simplifie le numérateur.

2 Indice 2

Pour la somme, remarque que le terme général s'écrit $\\dfrac{1}{2}(v_k-v_{k+1})$ avec $v_k=\\dfrac{1}{k(k+1)}$ : la somme se télescope.

3 Indice 3

Après télescopage, il ne reste que $v_1$ et $v_{n+1}$ ; calcule-les puis simplifie l'expression obtenue.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'identité, mets le membre de droite au même dénominateur $2 k (k + 1) (k + 2)$ et simplifie le numérateur.

Pour la somme, remarque que le terme général s'écrit $df r a c 12 (v_{k} - v_{k + 1})$ avec $v_{k} = df r a c 1 k (k + 1)$ : la somme se télescope.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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