L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . On considère les points A ( − 1 ; − 3 ; − 2 ) , B ( 0 ; 4 ; 2 ) , C ( 2 ; 2 ; − 1 ) et D ( 1 ; 1 ; 1 ) . Montrer que ( A B ) ⊥ ( C D ) . Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( A C ) . Vérifier que le point B ′ ( 5 ; 7 ; 0 ) appartient à ( A C ) . Vérifier que le point E ( 1 ; 2 ; − 3 ) n'appartient pas à ( A C ) .

Orthogonalité, droite et appartenance

Intermédiaire

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère les points $A (- 1; - 3; - 2)$ , $B (0; 4; 2)$ , $C (2; 2; - 1)$ et $D (1; 1; 1)$ .

Montrer que $(A B) ⊥ (C D)$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(A C)$ .
Vérifier que le point $B^{'} (5; 7; 0)$ appartient à $(A C)$ .
Vérifier que le point $E (1; 2; - 3)$ n'appartient pas à $(A C)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, calcule d'abord leurs vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, puis vérifie leur produit scalaire.

2 Indice 2

Si le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ vaut zéro, alors les droites sont perpendiculaires. Calcule chaque coordonnée puis additionne.

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Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, calcule d'abord leurs vecteurs directeurs $A B$ et $C D$ , puis vérifie leur produit scalaire.

Si le produit scalaire $A B \cdot C D = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ vaut zéro, alors les droites sont perpendiculaires. Calcule chaque coordonnée puis additionne.

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