Situation-problème : épargne et suite arithmético-géométrique

Exercice 4 — Situation-problème

Un habitant de Casablanca place une somme d'argent dans un compte bancaire. Au début de chaque année, il verse 500 dirhams sur ce compte. Le compte génère un intérêt annuel de 10% sur le capital présent en fin d'année (après versement).

On note $C_n$ le capital (en dirhams) disponible sur le compte à la fin de l'année n (après calcul des intérêts), avec $C_0=500\times 1,1=550$ dirhams (premier versement en début d'année 1, intérêts calculés en fin d'année 1 ; on pose n = 0 pour la fin de la première année).

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $C_{n+1}=1,1\times C_n+550$.
2. On pose $D_n=C_n+a$, où a est un réel à déterminer, de sorte que $(D_n)$ soit une suite géométrique. Trouver la valeur de a, puis exprimer $D_n$ en fonction de n.
3. En déduire l'expression de $C_n$ en fonction de n.
4. Calculer $C_9$ (arrondi au dirham). Interpréter le résultat.