Suite récurrente avec racine carrée : encadrement et croissance

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Énoncé

Soit la suite définie par :

  1. Montrer par récurrence que pour tout : .
  2. Montrer que la suite est croissante.

Indices

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1 Indice 1
Pour l'encadrement par récurrence : commence par vérifier que $u_0 = 1$ satisfait bien $1 \le u_0 \le 3$. Ensuite, suppose que $1 \le u_n \le 3$ et multiplie cette inégalité par $2$, puis ajoute $3$ avant d'appliquer la racine carrée.
2 Indice 2
Pour la croissance : puisque $u_n$ et $u_{n+1}$ sont positifs, compare plutôt leurs carrés. Calcule $u_{n+1}^2 - u_n^2$ en remplaçant $u_{n+1}^2$ par $2u_n + 3$, puis factorise l'expression obtenue pour étudier son signe.

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La méthode — par où commencer

Pour l'encadrement par récurrence : commence par vérifier que satisfait bien . Ensuite, suppose que et multiplie cette inégalité par , puis ajoute avant d'appliquer la racine carrée.

Pour la croissance : puisque et sont positifs, compare plutôt leurs carrés. Calcule en remplaçant par , puis factorise l'expression obtenue pour étudier son signe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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