Encadrement et croissance d'une suite à racine carrée

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Soit la suite définie par et, pour tout , .

  1. Montrer par récurrence que pour tout : .

  2. Montrer que est croissante.

Indices

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1 Indice 1
Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 = 1$ appartient bien à l'intervalle $[1, 3]$. Ensuite, suppose que $1 \leq u_n \leq 3$ et encadre $2u_n + 3$ pour en déduire un encadrement de $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$.
2 Indice 2
Pour montrer que la suite est croissante, compare $u_{n+1}$ et $u_n$ en étudiant le signe de $u_{n+1}^2 - u_n^2$. Remplace $u_{n+1}^2$ par $2u_n + 3$, factorise l'expression obtenue, puis utilise l'encadrement $1 \leq u_n \leq 3$ pour conclure sur le signe.

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La méthode — par où commencer

Pour la récurrence, commence par vérifier que appartient bien à l'intervalle . Ensuite, suppose que et encadre pour en déduire un encadrement de .

Pour montrer que la suite est croissante, compare et en étudiant le signe de . Remplace par , factorise l'expression obtenue, puis utilise l'encadrement pour conclure sur le signe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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