Intégrale d'une fonction rationnelle — ∫(2x+1)/(x²+x+1)dx

Intermédiaire
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Énoncé

On souhaite calculer l'intégrale :

  1. Montrer que le dénominateur ne s'annule pas sur .
  2. Reconnaître la forme de l'intégrande et calculer I.
  3. En déduire la valeur exacte de I.

Indices

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1 Indice 1
Commence par calculer le discriminant du trinôme $x^2 + x + 1$. Si $\Delta < 0$ et que le coefficient de $x^2$ est positif, que peux-tu dire sur son signe ?
2 Indice 2
Observe attentivement le numérateur $2x + 1$ : ne serait-il pas la dérivée du dénominateur ? Pense à la formule d'intégration de $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$.

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La méthode — par où commencer

Commence par calculer le discriminant du trinôme . Si et que le coefficient de est positif, que peux-tu dire sur son signe ?

Observe attentivement le numérateur : ne serait-il pas la dérivée du dénominateur ? Pense à la formule d'intégration de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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