Tournoi sportif à Marrakech : dénombrement avancé

Exercice 5 — Tournoi sportif à Marrakech

Un tournoi de tennis à Marrakech réunit n joueurs (n $\ge$ 2). Dans la phase de poules, chaque joueur affronte exactement une fois chacun des autres joueurs (tournoi à la ronde).

Partie A — Nombre de matchs

1. Exprimer en fonction de n le nombre total de matchs disputés lors de la phase de poules. On notera ce nombre $M(n)$.
2. Un organisateur annonce que 45 matchs ont été joués. Déterminer le nombre de joueurs ayant participé.

Partie B — Formation d'équipes

On considère maintenant un groupe de 10 joueurs (numérotés de 1 à 10) parmi lesquels on veut former deux équipes de 5 joueurs pour un match en double.

3. Combien de façons peut-on former la première équipe de 5 joueurs ? En déduire le nombre de façons de constituer les deux équipes simultanément (les deux équipes jouent l'une contre l'autre, donc l'équipe A contre l'équipe B est différente de l'équipe B contre l'équipe A).
4. En réalité, l'ordre dans lequel les équipes sont formées n'est pas pertinent (former l'équipe $\{1,2,3,4,5\}$ contre $\{6,7,8,9,10\}$ est la même partition que former $\{6,7,8,9,10\}$ contre $\{1,2,3,4,5\}$). Calculer le nombre de partitions en deux équipes de 5.

Partie C — Coefficient binomial et identité

5. Démontrer l'identité suivante pour tout entier $n\ge 1$ :
   $\sum _{k=0}^n{\left(C_n^k\right)}^2=C_{2n}^n$
   Indication : considérer le développement de $(1+x{)}^{2n}$ de deux manières différentes.