Codes, chemins et dénombrement structuré

Exercice 6 — Codes confidentiels et chemins combinatoires

Partie A — Codes d'accès

Un système informatique génère des codes de 6 caractères, chaque caractère étant une lettre majuscule de l'alphabet français (26 lettres) ou un chiffre (0 à 9), soit 36 caractères possibles au total.

1. Combien de codes de 6 caractères peut-on former si les répétitions sont autorisées ?
2. Combien de codes de 6 caractères peut-on former si tous les caractères sont distincts ?
3. Parmi les codes de 6 caractères distincts, combien contiennent exactement 2 chiffres et 4 lettres (tous distincts) ?

Partie B — Chemins dans une grille

On considère une grille rectangulaire de $(n+1)$ colonnes et $(p+1)$ lignes (avec $n,p\ge 1$). Un chemin va du coin inférieur gauche O au coin supérieur droit A en ne se déplaçant qu'à droite ($\to$) ou vers le haut ($\uparrow$). Un tel chemin comporte exactement $n$ pas vers la droite et $p$ pas vers le haut.

4. Expliquer pourquoi le nombre de tels chemins est égal à $C_{n+p}^p$.
5. Application : sur une grille 5 $\times$ 4 (c'est-à-dire $n=4$ pas vers la droite et $p=3$ pas vers le haut), combien de chemins de O à A passent par le point M situé à 2 pas vers la droite et 1 pas vers le haut depuis O ?
6. Toujours pour $n=4$ et $p=3$, combien de chemins n'empruntent pas le point M défini à la question précédente ?