Dénombrement avancé : urnes, commissions et identité combinatoire

Une association estudiantine de Rabat organise ses élections. Elle compte n adhérents, dont 5 fondateurs et (n − 5) nouveaux membres, avec $n\ge 7$.

Partie A — Commissions

1. On forme une commission de 4 membres choisis parmi les n adhérents.
   1. Exprimer en fonction de n le nombre total de commissions possibles.
   2. Exprimer en fonction de n le nombre de commissions contenant exactement 2 fondateurs.
   3. Exprimer en fonction de n le nombre de commissions contenant au moins un fondateur.
2. Pour n = 12, calculer les valeurs numériques obtenues en 1a, 1b et 1c.

Partie B — Identité combinatoire

3. Démontrer que pour tout entier p vérifiant $1\le p\le n$ :
   $p\times C_n^p=n\times C_{n-1}^{p-1}$
   en utilisant les définitions factorielles.
4. En déduire la valeur de la somme : $S=\sum _{k=1}^{n}k\times C_n^k$.

Partie C — Urne et dénombrement conditionnel

Une urne contient 5 boules rouges numérotées de 1 à 5 et 4 boules bleues numérotées de 1 à 4. On tire simultanément 3 boules.

5. Quel est le nombre total de tirages possibles ?
6. Combien de tirages contiennent au moins 2 boules rouges ?
7. Combien de tirages contiennent des boules dont la somme des numéros est égale à 6 ? (On précisera les cas selon la couleur des boules tirées.)