Codes, chiffres et dénombrement structuré

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 3 — Codes numériques sécurisés

Une banque de Rabat génère des codes d'accès à 4 chiffres choisis parmi les chiffres de 0 à 9.

  1. Combien de codes à 4 chiffres peut-on former si les chiffres peuvent se répéter ?
  2. Combien de codes à 4 chiffres peut-on former si tous les chiffres sont distincts ?
  3. Parmi les codes à 4 chiffres distincts, combien commencent par un chiffre impair ?
  4. Parmi les codes à 4 chiffres distincts, combien contiennent le chiffre 7 ?
  5. Un client choisit au hasard un code à 4 chiffres distincts. Quelle est la probabilité que son code commence par un chiffre impair et contienne le chiffre 7 ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la dernière question, commence par dénombrer séparément deux cas : soit le code commence par $7$ (qui est impair), soit il commence par un autre chiffre impair ($1, 3, 5$ ou $9$) et le $7$ apparaît ailleurs.
2 Indice 2
Dans le cas où le code commence par un impair différent de $7$, tu as $4$ choix pour la première position, puis tu dois placer le $7$ dans l'une des $3$ positions restantes, et compléter avec $2$ chiffres parmi les $8$ restants. Multiplie ces choix.

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La méthode — par où commencer

Pour la dernière question, commence par dénombrer séparément deux cas : soit le code commence par (qui est impair), soit il commence par un autre chiffre impair ( ou ) et le apparaît ailleurs.

Dans le cas où le code commence par un impair différent de , tu as choix pour la première position, puis tu dois placer le dans l'une des positions restantes, et compléter avec chiffres parmi les restants. Multiplie ces choix.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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