On considère le développement de ( 2 x + 1 ) 8 selon la formule du binôme de Newton. Exprimer le terme général T k + 1 du développement de ( 2 x + 1 ) 8 pour k ∈ { 0 , 1 , … , 8 } . Déterminer le terme indépendant de x dans le développement de ( 2 x + x 1 ) 8 . Déterminer la valeur de : k = 0 ∑ 8 C 8 k × 2 k . En déduire la valeur de k = 0 ∑ 8 C 8 k × ( − 2 ) k .

Développement du binôme et applications

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

On considère le développement de $(2 x + 1)^{8}$ selon la formule du binôme de Newton.

Exprimer le terme général $T_{k + 1}$ du développement de $(2 x + 1)^{8}$ pour $k \in {0, 1, \dots, 8}$ .
Déterminer le terme indépendant de $x$ dans le développement de $(2 x + \frac{1}{x})^{8}$ .
Déterminer la valeur de : $k = 0 \sum 8 C_{8}^{k} \times 2^{k}$ .
En déduire la valeur de $k = 0 \sum 8 C_{8}^{k} \times (- 2)^{k}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour le terme général de $(2x+1)^8$, applique la formule du binôme de Newton : $T_{k+1} = C_8^k \times (2x)^{8-k} \times 1^k$. Simplifie ensuite les puissances.

2 Indice 2

Pour le terme indépendant de $x$ dans $(2x + \dfrac{1}{x})^8$, écris d'abord le terme général $T_{k+1} = C_8^k \times (2x)^{8-k} \times (\dfrac{1}{x})^k$, puis cherche pour quelle valeur de $k$ la puissance de $x$ devient nulle.

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Pour le terme général de $(2 x + 1)^{8}$ , applique la formule du binôme de Newton : $T_{k + 1} = C_{8}^{k} \times (2 x)^{8 - k} \times 1^{k}$ . Simplifie ensuite les puissances.

Pour le terme indépendant de $x$ dans $(2 x + \frac{1}{x})^{8}$ , écris d'abord le terme général $T_{k + 1} = C_{8}^{k} \times (2 x)^{8 - k} \times (\frac{1}{x})^{k}$ , puis cherche pour quelle valeur de $k$ la puissance de $x$ devient nulle.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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