Énoncé On considère l'équation différentielle : ( E ) : y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 6 x 2 + 4 x − 1. Déterminer une solution particulière y 0 de ( E ) de la forme y 0 ( x ) = a x 2 + b x + c . Montrer que y est solution de ( E ) si et seulement si y − y 0 est solution de l'équation homogène ( E 0 ) : z ′′ + 3 z ′ + 2 z = 0 , puis résoudre ( E ) .

Solution particulière polynomiale de y'' + 3y' + 2y = 6x² + 4x − 1

Intermédiaire

Énoncé

On considère l'équation différentielle :

$(E) : y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 6 x^{2} + 4 x - 1.$

Déterminer une solution particulière $y_{0}$ de $(E)$ de la forme $y_{0} (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y - y_{0}$ est solution de l'équation homogène $(E_{0}) : z^{''} + 3 z^{'} + 2 z = 0$ , puis résoudre $(E)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver $y_0(x) = ax^2 + bx + c$, commence par calculer ses dérivées $y_0'$ et $y_0''$, puis injecte-les dans l'équation $(E)$ pour identifier les coefficients avec le second membre $6x^2 + 4x - 1$.

2 Indice 2

Une fois $y_0$ trouvée, pose $z = y - y_0$ et calcule $z'' + 3z' + 2z$ en utilisant le fait que $y_0$ vérifie $(E)$. Tu verras que $z$ vérifie l'équation homogène, qu'il faut ensuite résoudre avec son équation caractéristique.

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Pour trouver $y_{0} (x) = a x^{2} + b x + c$ , commence par calculer ses dérivées $y_{0}^{'}$ et $y_{0}^{''}$ , puis injecte-les dans l'équation $(E)$ pour identifier les coefficients avec le second membre $6 x^{2} + 4 x - 1$ .

Une fois $y_{0}$ trouvée, pose $z = y - y_{0}$ et calcule $z^{''} + 3 z^{'} + 2 z$ en utilisant le fait que $y_{0}$ vérifie $(E)$ . Tu verras que $z$ vérifie l'équation homogène, qu'il faut ensuite résoudre avec son équation caractéristique.

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Solution particulière polynomiale de y'' + 3y' + 2y = 6x² + 4x − 1

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