Problème BAC — étude de f(x) = (1−x)eˣ et aire sous la courbe

Difficile
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Énoncé

Soit f définie sur par .

  1. Calculer les limites de f en et .
  2. Calculer , étudier son signe, et dresser le tableau de variations.
  3. Montrer que la courbe admet un point d'inflexion que l'on déterminera.
  4. Calculer l'aire A du domaine délimité par , l'axe des abscisses, et les droites et .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour les limites, mets $x e^x$ en évidence en $+\\infty$ et rappelle-toi la croissance comparée $x e^x \\to -\\infty$ ; en $-\\infty$, $e^x$ l'emporte et tend vers $0$.
2 Indice 2
Pour la dérivée, utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = 1-x$ et $v = e^x$, tu devrais trouver une expression simple en $x$ et $e^x$.
3 Indice 3
Pour le point d'inflexion, dérive une seconde fois et cherche où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.
4 Indice 4
Pour l'aire, sépare l'intervalle $[0,2]$ selon le signe de $f$ (positif sur $[0,1]$, négatif sur $[1,2]$) et utilise une intégration par parties pour la primitive de $(1-x)e^x$.

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La méthode — par où commencer

Pour les limites, mets en évidence en et rappelle-toi la croissance comparée ; en , l'emporte et tend vers .

Pour la dérivée, utilise la formule du produit avec et , tu devrais trouver une expression simple en et .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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