Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = e 2 x − 1 . Préciser le domaine de définition de f. Calculer f ′ ( x ) . Calculer les limites de f en + ∞ et en − ∞ . Interpréter graphiquement. Résoudre les équations : f ( x ) = 1 , f ( x ) = e , f ( x ) = e 1 . Résoudre l'inéquation f ( x ) ≥ e 3 .

Étude de f(x) = e^(2x−1)

Facile

Énoncé

Soit f la fonction définie sur $R$ par $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

Préciser le domaine de définition de f.
Calculer $f^{'} (x)$ .
Calculer les limites de f en $+ \infty$ et en $- \infty$ . Interpréter graphiquement.
Résoudre les équations : $f (x) = 1$ , $f (x) = e$ , $f (x) = \frac{1}{e}$ .
Résoudre l'inéquation $f (x) \geq e^{3}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour résoudre une équation avec des exponentielles comme $e^{2x-1} = e$, pense à écrire le second membre aussi sous forme d'exponentielle ($e = e^1$), puis tu pourras égaliser les exposants.

2 Indice 2

Pour l'inéquation $f(x) \geq e^3$, écris d'abord $e^{2x-1} \geq e^3$. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, tu peux comparer directement les exposants : $2x-1 \geq 3$.

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Pour résoudre une équation avec des exponentielles comme $e^{2 x - 1} = e$ , pense à écrire le second membre aussi sous forme d'exponentielle ( $e = e^{1}$ ), puis tu pourras égaliser les exposants.

Pour l'inéquation $f (x) \geq e^{3}$ , écris d'abord $e^{2 x - 1} \geq e^{3}$ . Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, tu peux comparer directement les exposants : $2 x - 1 \geq 3$ .

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