Soit g la fonction définie sur I = [ 0 ; + ∞ [ par g ( x ) = 1 − e − 2 1 x − 2 1 x . Montrer que g est strictement décroissante sur [ 0 ; + ∞ [ . En déduire le signe de g ( x ) pour x > 0 , puis l'inégalité 1 − e − 2 1 x < 2 1 x sur ] 0 ; + ∞ [ .

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Énoncé

Soit $g$ la fonction définie sur $I = [0; + \infty [$ par $g (x) = 1 - e^{- \frac{1}{2} x} - \frac{1}{2} x$ .

Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ .
En déduire le signe de $g (x)$ pour $x > 0$ , puis l'inégalité $1 - e^{- \frac{1}{2} x} < \frac{1}{2} x$ sur $] 0; + \infty [$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour étudier le sens de variation de $g$, commence par calculer sa dérivée $g'(x)$ en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées pour le terme $e^{-\dfrac{1}{2}x}$.

2 Indice 2

Une fois $g'(x)$ calculée, mets $\dfrac{1}{2}$ en facteur et compare $e^{-\dfrac{1}{2}x}$ à $1$ lorsque $x>0$. Puis calcule $g(0)$ pour en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

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Pour étudier le sens de variation de $g$ , commence par calculer sa dérivée $g^{'} (x)$ en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées pour le terme $e^{- \frac{1}{2} x}$ .

Une fois $g^{'} (x)$ calculée, mets $\frac{1}{2}$ en facteur et compare $e^{- \frac{1}{2} x}$ à $1$ lorsque $x > 0$ . Puis calcule $g (0)$ pour en déduire le signe de $g (x)$ sur $] 0; + \infty [$ .

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