Équation différentielle et suite associée

Exercice 5 — Équation différentielle et suite

Partie A — Équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime }-2y=4e^x$, où y est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre l'équation homogène associée $y^{\prime }-2y=0$.
2. Montrer qu'il existe une solution particulière de (E) de la forme $x\mapsto a{e}^x$, où a est une constante réelle à déterminer.
3. En déduire l'ensemble des solutions de (E).
4. Déterminer l'unique solution $\phi$ de (E) vérifiant $\phi (0)=3$.

Partie B — Suite

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=3$ et, pour tout entier $n\ge 0$ : $u_{n+1}=2u_n-4e^n$.

5. On pose $v_n=u_n-\phi (n)$, où $\phi$ est la solution trouvée en question 4. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
6. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de n.
7. Étudier le comportement de $u_n$ quand $n\to +\infty$.