Le quotient de deux complexes et l'angle 12 π On pose a = 1 + i 3 et b = 1 + i . Écrire b a sous forme trigonométrique. Écrire b a sous forme algébrique, puis en déduire cos 12 π et sin 12 π . Montrer que a 2022 ∈ R et que ( 2 a ) 48 + ( 2 b ) 48 = 2 .

Quotient, angle de douze et puissances entières

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Le quotient de deux complexes et l'angle $\frac{π}{12}$

On pose $a = 1 + i 3$ et $b = 1 + i$ .

Écrire $\frac{a}{b}$ sous forme trigonométrique.
Écrire $\frac{a}{b}$ sous forme algébrique, puis en déduire $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .
Montrer que $a^{2022} \in R$ et que $(\frac{a}{2})^{48} + (\frac{b}{2})^{48} = 2$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour écrire $\dfrac{a}{b}$ sous forme trigonométrique, commence par mettre $a$ et $b$ sous forme trigonométrique : calcule leur module et leur argument. Ensuite, divise les modules et soustrais les arguments.

2 Indice 2

Pour la forme algébrique, multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $b$, c'est-à-dire par $1-i$. Développe $(1+i\sqrt{3})(1-i)$ et $(1+i)(1-i)$, puis identifie les parties réelle et imaginaire.

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Pour écrire $\frac{a}{b}$ sous forme trigonométrique, commence par mettre $a$ et $b$ sous forme trigonométrique : calcule leur module et leur argument. Ensuite, divise les modules et soustrais les arguments.

Pour la forme algébrique, multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $b$ , c'est-à-dire par $1 - i$ . Développe $(1 + i 3) (1 - i)$ et $(1 + i) (1 - i)$ , puis identifie les parties réelle et imaginaire.

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