Mise en facteur du conjugué et angle 12 π On pose a = 2 + 3 + i . Montrer que a = ( 2 3 + 2 1 i ) a ˉ , puis calculer ∣ a ∣ . Écrire a sous forme trigonométrique. En déduire les valeurs exactes de cos 12 π et sin 12 π . Montrer que a 6 = i ( 2 2 + 3 ) 6 .

Angle de douze et puissance par mise en facteur du conjugué

Difficile

Énoncé

Mise en facteur du conjugué et angle $\frac{π}{12}$

On pose $a = 2 + 3 + i$ .

Montrer que $a = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) \overset{a}{ˉ}$ , puis calculer $∣ a ∣$ .
Écrire $a$ sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .
Montrer que $a^{6} = i (2 2 + 3)^{6}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, développez le produit $\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\bar a$ avec $\bar a = 2+\sqrt 3 - i$ et comparez partie réelle et partie imaginaire à $a$.

2 Indice 2

Remarquez que $\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac{1}{2}i$ a pour module $1$ et pour argument $\dfrac{\pi}{6}$. Comme $|a|=|\bar a|$, cela relie $\arg(a)$ à $-\arg(a)$.

3 Indice 3

Pour la question 4, une fois $a$ écrit sous forme $2\sqrt{2+\sqrt3}\,\mathrm{cis}\dfrac{\pi}{12}$, appliquez directement la formule de Moivre pour élever à la puissance $6$.

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Pour la question 1, développez le produit $(\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) \overset{a}{ˉ}$ avec $\overset{a}{ˉ} = 2 + 3 - i$ et comparez partie réelle et partie imaginaire à $a$ .

Remarquez que $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ a pour module $1$ et pour argument $\frac{π}{6}$ . Comme $∣ a ∣ = ∣ \overset{a}{ˉ} ∣$ , cela relie $ar g (a)$ à $- ar g (a)$ .

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