L'angle 8 π à partir d'un carré On pose a = 2 + 2 + i 2 − 2 . Écrire a 2 sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. En déduire les valeurs exactes de cos 8 π , sin 8 π , puis de cos 8 7 π et sin 8 7 π .

Carré d'un complexe et angle de huitième

Intermédiaire

Énoncé

L'angle $\frac{π}{8}$ à partir d'un carré

On pose $a = 2 + 2 + i 2 - 2$ .

Écrire $a^{2}$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs exactes de $cos \frac{π}{8}$ , $sin \frac{π}{8}$ , puis de $cos \frac{7 π}{8}$ et $sin \frac{7 π}{8}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $a^2$, développe $(x+iy)^2$ en posant $x=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ et $y=\sqrt{2-\sqrt{2}}$. Tu auras besoin de simplifier $x^2-y^2$ et $2xy$ en utilisant l'identité $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

2 Indice 2

Une fois $a^2$ obtenu sous forme algébrique, calcule son module avec $|a^2|=\sqrt{(\text{Re})^2+(\text{Im})^2}$ et trouve son argument en résolvant $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$. Rappelle-toi que $\arg(a)=\dfrac{1}{2}\arg(a^2)$.

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Pour calculer $a^{2}$ , développe $(x + i y)^{2}$ en posant $x = 2 + 2$ et $y = 2 - 2$ . Tu auras besoin de simplifier $x^{2} - y^{2}$ et $2 x y$ en utilisant l'identité $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

Une fois $a^{2}$ obtenu sous forme algébrique, calcule son module avec $∣ a^{2} ∣ = (Re)^{2} + (Im)^{2}$ et trouve son argument en résolvant $cos φ$ et $sin φ$ . Rappelle-toi que $ar g (a) = \frac{1}{2} ar g (a^{2})$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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