Angle de sept-douzièmes via un produit de complexes

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Énoncé

L'angle

On pose et .

  1. Montrer que , puis calculer .

  2. Écrire puis sous forme trigonométrique.

  3. En déduire les valeurs exactes de et .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $a=-2\sqrt{3}+2i$, développe le produit $(1+i)\times[(1-\sqrt{3})+i(1+\sqrt{3})]$ en distribuant bien les termes réels et imaginaires. N'oublie pas que $i^2=-1$.
2 Indice 2
Une fois $a$ sous forme trigonométrique trouvée, utilise la relation $a=(1+i)\,b$ : écris $1+i$ en forme trigonométrique (module $\sqrt{2}$, argument $\dfrac{\pi}{4}$), puis déduis le module et l'argument de $b$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que , développe le produit en distribuant bien les termes réels et imaginaires. N'oublie pas que .

Une fois sous forme trigonométrique trouvée, utilise la relation : écris en forme trigonométrique (module , argument ), puis déduis le module et l'argument de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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