Loi binomiale et loi de Poisson – Pannes d'un réseau

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Un opérateur télécom de Rabat gère un réseau de communication. On modélise les pannes selon deux situations indépendantes.
Partie A – Loi binomiale
Chaque jour, le réseau peut subir une panne avec une probabilité , indépendamment des autres jours. On considère une période de 30 jours. On note le nombre de jours de panne durant cette période.
1. Justifier que suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer et .
3. Calculer la probabilité que le réseau subisse exactement 3 pannes durant ces 30 jours. Arrondir au millième. On donne : ; .
4. Montrer que , puis en déduire une valeur approchée de (on donne ).
Partie B – Loi de Poisson
On note le nombre de pannes majeures par mois, modélisé par une loi de Poisson de paramètre . Calculer , et (on donne ).

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la partie A, reconnais un schema de Bernoulli repete $n=30$ fois avec probabilite de succes $p=0{,}1$ : identifie les paramètres de la loi binomiale $\\mathcal{B}(n;p)$.
2 Indice 2
Utilise les formules $E(X)=np$ et $\\sigma(X)=\\sqrt{np(1-p)}$. Pour $P(X=3)$, applique la formule $P(X=k)=\\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ avec les valeurs numeriques fournies.
3 Indice 3
Pour $P(X\\le 1)$, decompose en $P(X=0)+P(X=1)$ puis factorise. Pour la partie B, applique $P(Y=k)=e^{-\\lambda}\\dfrac{\\lambda^k}{k!}$ avec $\\lambda=3$.

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La méthode — par où commencer

Pour la partie A, reconnais un schema de Bernoulli repete fois avec probabilite de succes : identifie les paramètres de la loi binomiale .

Utilise les formules et . Pour , applique la formule avec les valeurs numeriques fournies.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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