Sous-groupes de (ℤ, +)

Difficile
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Énoncé

Démontrer que les sous-groupes de (, +) sont exactement les ensembles de la forme n pour n .

Indices

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1 Indice 1
Distingue le cas $H=\{0\}$ (trivial) du cas où $H$ contient un élément non nul, donc un élément strictement positif.
2 Indice 2
Considère $n$ le plus petit élément strictement positif de $H$ et montre l'inclusion $n\mathbb{Z}\subseteq H$ par stabilité de $H$.
3 Indice 3
Pour l'inclusion réciproque, effectue la division euclidienne d'un élément quelconque $x\in H$ par $n$ et utilise la minimalité de $n$ pour montrer que le reste est nul.

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La méthode — par où commencer

Distingue le cas (trivial) du cas où contient un élément non nul, donc un élément strictement positif.

Considère le plus petit élément strictement positif de et montre l'inclusion par stabilité de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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