On considère l'anneau ( R [X], +, × ). Montrer que si P ⋅ Q = 1 dans R [X], alors deg(P) = deg(Q) = 0. En déduire que les éléments inversibles de R [X] sont exactement les polynômes constants non nuls. Montrer que R [X] est un anneau intègre.

Anneau des polynômes — éléments inversibles

Difficile

On considère l'anneau ( $R$ [X], +, $\times$ ).

Montrer que si P $\cdot$ Q = 1 dans $R$ [X], alors deg(P) = deg(Q) = 0.
En déduire que les éléments inversibles de $R$ [X] sont exactement les polynômes constants non nuls.
Montrer que $R$ [X] est un anneau intègre.

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1 Indice 1

Utilise la propriété du degré d'un produit de polynômes non nuls : $\deg(PQ) = \deg(P)+\deg(Q)$.

2 Indice 2

Comme les degrés sont des entiers naturels et que leur somme doit être $0$, que peux-tu en déduire sur chacun d'eux séparément ?

3 Indice 3

Pour l'intégrité, suppose $PQ=0$ avec $P$ et $Q$ non nuls et regarde ce que cela implique pour le coefficient dominant du produit.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Utilise la propriété du degré d'un produit de polynômes non nuls : $de g (P Q) = de g (P) + de g (Q)$ .

Comme les degrés sont des entiers naturels et que leur somme doit être $0$ , que peux-tu en déduire sur chacun d'eux séparément ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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