Soit p un nombre premier. Montrer que ( Z / p Z ) ∗ × est un groupe de cardinal p − 1 . On admet que dans un groupe fini G de cardinal n, tout élément x vérifie x n = e . En déduire que pour tout a ∈ Z avec p ∤ a : a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) . Retrouver a p ≡ a ( mod p ) pour tout a ∈ Z .

Petit théorème de Fermat via (ℤ/pℤ)*

Difficile

Soit p un nombre premier.

Montrer que $(Z / p Z)^{*} \times$ est un groupe de cardinal $p - 1$ .
On admet que dans un groupe fini G de cardinal n, tout élément x vérifie $x^{n} = e$ . En déduire que pour tout $a \in Z$ avec $p ∤ a$ : $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$ .
Retrouver $a^{p} \equiv a (mod p)$ pour tout $a \in Z$ .

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1 Indice 1

Rappelez que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps car $p$ est premier : tout élément non nul y est inversible.

2 Indice 2

Appliquez le résultat admis (théorème de Lagrange) au groupe $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ de cardinal $p-1$.

3 Indice 3

Pour la question 3, distinguez le cas $p \mid a$ du cas $p \nmid a$, et dans ce dernier multipliez le résultat de la question 2 par $a$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Rappelez que $Z / p Z$ est un corps car $p$ est premier : tout élément non nul y est inversible.

Appliquez le résultat admis (théorème de Lagrange) au groupe $(Z / p Z)^{*}$ de cardinal $p - 1$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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