Isomorphisme f(x) = eˣ de (ℝ,+) vers (ℝ*₊,×)

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Énoncé

Soit définie par .

  1. Montrer que est un morphisme de groupes.
  2. Montrer que est injective, puis surjective.
  3. Conclure que est un isomorphisme de groupes.

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $f$ est un morphisme, écris ce que signifie $f(x + y)$ en utilisant les propriétés de l'exponentielle, puis compare avec $f(x) \times f(y)$.
2 Indice 2
Pour l'injectivité, suppose que $e^x = e^y$ et utilise la stricte croissance de l'exponentielle. Pour la surjectivité, cherche l'antécédent de $y > 0$ en pensant à la fonction logarithme.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est un morphisme, écris ce que signifie en utilisant les propriétés de l'exponentielle, puis compare avec .

Pour l'injectivité, suppose que et utilise la stricte croissance de l'exponentielle. Pour la surjectivité, cherche l'antécédent de en pensant à la fonction logarithme.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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