On définit sur l'intervalle E = ] − 1 ; 1 [ la loi ∗ par : ∀ x , y ∈ ] − 1 ; 1 [ : x ∗ y = 1 + x y x + y Montrer que ∗ est une loi de composition interne sur ] − 1 ; 1 [ . Montrer que ∗ est commutative et associative. Déterminer l'élément neutre e de ∗ . Démontrer que tout x de E admet un symétrique (à déterminer).

Loi $x*y = \dfrac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1;1[$

Intermédiaire

Énoncé

On définit sur l'intervalle $E =] - 1; 1 [$ la loi $*$ par :

$\forall x, y \in] - 1; 1 [: x * y = \frac{x + y}{1 + x y}$

Montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $] - 1; 1 [$ .
Montrer que $*$ est commutative et associative.
Déterminer l'élément neutre $e$ de $*$ .
Démontrer que tout $x$ de $E$ admet un symétrique (à déterminer).

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $*$ est une loi interne, tu dois prouver que si $x$ et $y$ sont dans $]-1;1[$, alors $\dfrac{x+y}{1+xy}$ reste aussi dans cet intervalle. Compare $\dfrac{x+y}{1+xy}$ avec $-1$ et avec $1$ en étudiant les signes des différences.

2 Indice 2

Pour comparer $\dfrac{x+y}{1+xy}$ avec $1$, calcule $\dfrac{x+y}{1+xy} - 1$ et factorise le numérateur obtenu. Tu devrais trouver un produit de deux facteurs dont tu peux déterminer le signe grâce aux bornes de l'intervalle $]-1;1[$.

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Pour montrer que $*$ est une loi interne, tu dois prouver que si $x$ et $y$ sont dans $] - 1; 1 [$ , alors $\frac{x + y}{1 + x y}$ reste aussi dans cet intervalle. Compare $\frac{x + y}{1 + x y}$ avec $- 1$ et avec $1$ en étudiant les signes des différences.

Pour comparer $\frac{x + y}{1 + x y}$ avec $1$ , calcule $\frac{x + y}{1 + x y} - 1$ et factorise le numérateur obtenu. Tu devrais trouver un produit de deux facteurs dont tu peux déterminer le signe grâce aux bornes de l'intervalle $] - 1; 1 [$ .

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