Groupe cyclique

Intermédiaire
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Énoncé

Soit G = {1, -1} avec la multiplication. Montrez que G est un groupe et déterminez s'il est cyclique.

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $G$ est un groupe, vérifie les quatre propriétés une par une : l'associativité de la multiplication, l'existence d'un élément neutre, l'existence d'un inverse pour chaque élément, et la fermeture.
2 Indice 2
Pour la cyclicité, cherche si un seul élément peut engendrer tout le groupe. Calcule les puissances successives de $-1$ : $(-1)^1$, $(-1)^2$, $(-1)^3$... Que remarques-tu ?

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est un groupe, vérifie les quatre propriétés une par une : l'associativité de la multiplication, l'existence d'un élément neutre, l'existence d'un inverse pour chaque élément, et la fermeture.

Pour la cyclicité, cherche si un seul élément peut engendrer tout le groupe. Calcule les puissances successives de : , , ... Que remarques-tu ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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