Groupe non classique

Intermédiaire
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Énoncé

Sur , on définit la loi par : .

  1. Montrer que est une LCI sur .
  2. Montrer l'associativité et la commutativité.
  3. Déterminer l'élément neutre et le symétrique de .
  4. Conclure.

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $\dfrac{x+y}{1+xy}$ reste dans $]−1, 1[$, commence par vérifier que le dénominateur $1+xy$ est bien strictement positif. Ensuite, étudie les inégalités $-1 < \dfrac{x+y}{1+xy} < 1$ en les transformant.
2 Indice 2
Pour l'inégalité $\dfrac{x+y}{1+xy} < 1$, ramène tout du même côté : calcule $1 - \dfrac{x+y}{1+xy}$ et factorise le numérateur obtenu. Tu devrais reconnaître un produit de deux facteurs positifs.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que reste dans , commence par vérifier que le dénominateur est bien strictement positif. Ensuite, étudie les inégalités en les transformant.

Pour l'inégalité , ramène tout du même côté : calcule et factorise le numérateur obtenu. Tu devrais reconnaître un produit de deux facteurs positifs.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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