Comparaison de suites

Difficile

Énoncé

Considérons les suites définies par : $a_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ et $b_{n} = n^{3} - n$ .

1. Montrez que la suite $(a_{n})$ est croissante pour $n \geq 1$ .

2. Étudiez le sens de variation de la suite $(b_{n})$ et montrez qu'elle est également croissante.

3. Comparez les deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ pour de grandes valeurs de $n$ et déterminez laquelle croît plus rapidement.

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une suite est croissante, calcule le signe de $a_{n+1}-a_n$ (ou $b_{n+1}-b_n$) apres developpement.

2 Indice 2

Developpe soigneusement $(2(n+1)^2+3(n+1))-(2n^2+3n)$ puis fais de meme pour $b_{n+1}-b_n$.

3 Indice 3

Pour comparer la croissance a l'infini, etudie le comportement du rapport $\\dfrac{a_n}{b_n}$ quand $n\\to+\\infty$ en gardant les termes dominants.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour montrer qu'une suite est croissante, calcule le signe de $a_{n + 1} - a_{n}$ (ou $b_{n + 1} - b_{n}$ ) apres developpement.

Developpe soigneusement $(2 (n + 1)^{2} + 3 (n + 1)) - (2 n^{2} + 3 n)$ puis fais de meme pour $b_{n + 1} - b_{n}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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