Irrationalité de √2 — raisonnement par l'absurde

Difficile
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Énoncé

Prouver que est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme où p et q sont des entiers avec .

Indices

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1 Indice 1
Suppose par l'absurde que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec la fraction irréductible, puis élève au carré pour obtenir une relation entre $p^2$ et $q^2$.
2 Indice 2
Montre que $p^2$ est pair implique que $p$ lui-même est pair (raisonne sur la parité d'un carré), puis pose $p=2k$.
3 Indice 3
Remplace $p$ par $2k$ dans la relation et montre que $q^2$ est aussi pair ; que dit cela sur $q$, et pourquoi est-ce contradictoire ?

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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La méthode — par où commencer

Suppose par l'absurde que avec la fraction irréductible, puis élève au carré pour obtenir une relation entre et .

Montre que est pair implique que lui-même est pair (raisonne sur la parité d'un carré), puis pose .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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