Travail sur les puissances Simplifier les expressions suivantes (avec a et b réels non nuls) : X = a 10 a 16 × ( a 2 a 3 ) 2 × ( a 4 a 2 ) 4 , Y = a 5 × b − 2 × a − 1 × a 2 × b − 3 a − 3 × b × ( a 2 b − 2 ) 4 × a 5 . Montrer que 3 7 × 1 2 2 6 6 × 2 7 4 = 3 9 × 2 2 .

Puissances : simplification et calcul

Intermédiaire

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Travail sur les puissances

Simplifier les expressions suivantes (avec $a$ et $b$ réels non nuls) : $X = \frac{a ^{16}}{a ^{10}} \times (\frac{a ^{3}}{a ^{2}})^{2} \times (\frac{a ^{2}}{a ^{4}})^{4}, Y = \frac{a ^{- 3} \times b \times ( a ^{2} b ^{- 2} ) ^{4} \times a ^{5}}{a ^{5} \times b ^{- 2} \times a ^{- 1} \times a ^{2} \times b ^{- 3}} .$
Montrer que $\frac{6 ^{6} \times 2 7 ^{4}}{3 ^{7} \times 1 2 ^{2}} = 3^{9} \times 2^{2} .$

Indices

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1 Indice 1

Pour simplifier $X$ et $Y$, commence par appliquer les règles des puissances : $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ et $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$. Traite chaque facteur séparément puis regroupe.

2 Indice 2

Pour la dernière égalité, décompose tous les nombres en facteurs premiers : $6 = 2 \times 3$, $27 = 3^{3}$, $12 = 2^{2} \times 3$. Ensuite applique $(p \times q)^{n} = p^{n} \times q^{n}$ et regroupe les puissances de $2$ et de $3$.

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Pour simplifier $X$ et $Y$ , commence par appliquer les règles des puissances : $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ et $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ . Traite chaque facteur séparément puis regroupe.

Pour la dernière égalité, décompose tous les nombres en facteurs premiers : $6 = 2 \times 3$ , $27 = 3^{3}$ , $12 = 2^{2} \times 3$ . Ensuite applique $(p \times q)^{n} = p^{n} \times q^{n}$ et regroupe les puissances de $2$ et de $3$ .

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