Montrer que 2 est irrationnel. Donner un rationnel r et un irrationnel i tels que 1 , 41 < r < 2 < i < 1 , 42 . Encadrer 2 à 1 0 − 2 près en utilisant la méthode des carrés : trouver n ∈ N tel que n 2 ≤ 2 × 1 0 4 < ( n + 1 ) 2 .

Densité de ℚ dans ℝ et encadrements

Difficile

Montrer que $2$ est irrationnel.
Donner un rationnel r et un irrationnel i tels que $1, 41 < r < 2 < i < 1, 42$ .
Encadrer $2$ à $1 0^{- 2}$ près en utilisant la méthode des carrés : trouver $n \in N$ tel que $n^{2} \leq 2 \times 1 0^{4} < (n + 1)^{2}$ .

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1 Indice 1

Pour la question 1, utilise un raisonnement par l'absurde en supposant $\\sqrt{2}=\\dfrac{p}{q}$ avec $p,q$ premiers entre eux.

2 Indice 2

Pour la question 2, teste des carrés de nombres décimaux proches de $1{,}41$ et $1{,}42$ pour trouver un rationnel qui convient, et compare avec $2$.

3 Indice 3

Pour la question 3, cherche l'entier $n$ tel que $n^2\\leq 2\\times 10^4 < (n+1)^2$ en testant des valeurs proches de $141$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, utilise un raisonnement par l'absurde en supposant $s q r t 2 = df r a c p q$ avec $p, q$ premiers entre eux.

Pour la question 2, teste des carrés de nombres décimaux proches de $1, 41$ et $1, 42$ pour trouver un rationnel qui convient, et compare avec $2$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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