Borne supérieure et propriété d'Archimède

Difficile
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Énoncé

  1. Soit A = { 1 − 1/n | n * }. Montrer que sup(A) = 1 et que 1 A.
  2. En admettant la propriété d'Archimède ( x , n tel que n > x), montrer que pour tout > 0, il existe n * tel que 1/n < $\varepsilon$.
  3. Montrer que pour tout a < b dans $\mathbb{R}$, il existe r $\in$ $\mathbb{Q}$ tel que a < r < b (densité de $\mathbb{Q}$).

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $1$ est le plus petit majorant, prends un réel $M<1$ quelconque et utilise la propriété d'Archimède appliquée à $\\dfrac{1}{1-M}$ pour trouver un $n$ tel que $1-\\dfrac{1}{n}>M$.
2 Indice 2
Pour la question 2, applique directement Archimède au réel $x=\\dfrac{1}{\\varepsilon}$.
3 Indice 3
Pour la densité de $\\mathbb{Q}$, choisis $n$ tel que $\\dfrac{1}{n}

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est le plus petit majorant, prends un réel quelconque et utilise la propriété d'Archimède appliquée à pour trouver un tel que .

Pour la question 2, applique directement Archimède au réel .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Densité de ℚ dans ℝ et encadrements Tous les exercices du chapitre Intersection, union et différence de [-3,5] et [1,8[