Orthogonalité d'une droite à un plan dans un cube

Difficile
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Énoncé

est un cube ( face inférieure, face supérieure, au-dessus de , au-dessus de , au-dessus de , au-dessus de ). On note , et les milieux respectifs des arêtes , et .

  1. Montrer que la droite est orthogonale au plan .

  2. Montrer que la droite est orthogonale au plan .

Indices

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1 Indice 1
Place le cube dans un repère orthonormé, par exemple $A=(0,0,0)$ et arête égale à $1$, puis exprime les coordonnées de tous les sommets.
2 Indice 2
Détermine les coordonnées de $I$, $J$, $K$ comme milieux, puis calcule deux vecteurs du plan $(IJK)$, par exemple $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$.
3 Indice 3
Pour montrer qu'une droite est orthogonale au plan, calcule les produits scalaires du vecteur directeur de la droite avec $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ : s'ils sont nuls tous les deux, c'est gagné.

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La méthode — par où commencer

Place le cube dans un repère orthonormé, par exemple et arête égale à , puis exprime les coordonnées de tous les sommets.

Détermine les coordonnées de , , comme milieux, puis calcule deux vecteurs du plan , par exemple et .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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