Soit A B C un triangle et I le milieu du segment [ B C ] , tels que : I A = 3 , I B = I C = 2 Calculer A B 2 + A C 2 puis A B ⋅ A C . On suppose de plus que B I A = 3 π . Calculer I B ⋅ I A .

Théorème de la médiane et angle au milieu

Intermédiaire

Énoncé

Soit $A B C$ un triangle et $I$ le milieu du segment $[B C]$ , tels que :

$I A = 3, I B = I C = 2$

Calculer $A B^{2} + A C^{2}$ puis $A B \cdot A C$ .
On suppose de plus que $B I A = \frac{π}{3}$ . Calculer $I B \cdot I A$ .

Indices

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1 Indice 1

Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$, tu peux utiliser le théorème de la médiane qui relie $AB^2+AC^2$ à la longueur de la médiane $AI$ et à celle du côté $BC$.

2 Indice 2

Pour le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, pense à l'identité de polarisation : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)$. Pour $\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IA}$, utilise la formule avec le cosinus de l'angle $\widehat{BIA}$.

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Puisque $I$ est le milieu de $[B C]$ , tu peux utiliser le théorème de la médiane qui relie $A B^{2} + A C^{2}$ à la longueur de la médiane $A I$ et à celle du côté $B C$ .

Pour le produit scalaire $A B \cdot A C$ , pense à l'identité de polarisation : $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ . Pour $I B \cdot I A$ , utilise la formule avec le cosinus de l'angle $B I A$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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