Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. L'inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que $|\vec{u}\cdot \vec{v}|\le \Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert$.

1) En utilisant $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert \cdot \cos \theta$, justifier cette inégalité.
2) Quand a-t-on l'égalité ?
3) Application : montrer que pour tous réels $a,b$ : $|ab|\le \frac{a^2+b^2}{2}$.