A B C est un triangle du plan et A ′ le milieu du segment [ B C ] . Soit D le point tel que A D = 4 3 A A ′ . Construire E , projeté de D sur la droite ( B C ) parallèlement à ( A B ) . Construire F , projeté de D sur la droite ( B C ) parallèlement à ( A C ) . Montrer que B E = 4 3 B A ′ et C F = 4 3 C A ′ . En déduire que A ′ est le milieu du segment [ E F ] .

Milieu conservé par double projection

Intermédiaire

Énoncé

$A B C$ est un triangle du plan et $A^{'}$ le milieu du segment $[B C]$ . Soit $D$ le point tel que $A D = \frac{3}{4} A A^{'}$ .

Construire $E$ , projeté de $D$ sur la droite $(B C)$ parallèlement à $(A B)$ .
Construire $F$ , projeté de $D$ sur la droite $(B C)$ parallèlement à $(A C)$ .
Montrer que $B E = \frac{3}{4} B A^{'}$ et $C F = \frac{3}{4} C A^{'}$ .
En déduire que $A^{'}$ est le milieu du segment $[E F]$ .

Indices

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1 Indice 1

Pense aux projections : quand tu projettes un point sur une droite parallèlement à une direction, les coefficients des vecteurs colinéaires sont conservés. Que deviennent $A$, $A'$ et $D$ par projection sur $(BC)$ ?

2 Indice 2

Une fois que tu as $\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA'}$ et $\overrightarrow{CF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CA'}$, utilise le fait que $A'$ est milieu de $[BC]$ : que peux-tu dire sur $\overrightarrow{BA'}$ et $\overrightarrow{CA'}$ ?

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Une fois que tu as $B E = \frac{3}{4} B A^{'}$ et $C F = \frac{3}{4} C A^{'}$ , utilise le fait que $A^{'}$ est milieu de $[B C]$ : que peux-tu dire sur $B A^{'}$ et $C A^{'}$ ?

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