Soit la suite u 0 = 2 et u n + 1 = u n + 6 . 1) Calculer u 1 , u 2 . 2) Montrer que si u n ∈ [ 2 , 3 ] , alors u n + 1 ∈ [ 2 , 3 ] (la suite est bornée). 3) Montrer que u n + 1 − u n = 2 u n + 6 + ? ( u n − 3 ) ( u n + 2 ) . Admettre que la suite est croissante et converge vers 3.

Convergence — suite monotone bornée

Difficile

Énoncé

Soit la suite $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 6$ .

1) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ .
2) Montrer que si $u_{n} \in [2, 3]$ , alors $u_{n + 1} \in [2, 3]$ (la suite est bornée).
3) Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( u _{n} - 3 ) ( u _{n} + 2 )}{2 u _{n} + 6 + ?}$ . Admettre que la suite est croissante et converge vers 3.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour calculer $u_1$ et $u_2$, remplace simplement dans la formule $u_{n+1}=\\sqrt{u_n+6}$ en partant de $u_0=2$.

2 Indice 2

Pour montrer la stabilité de $[2,3]$, étudie séparément la borne basse ($u_n\\geq 2 \\Rightarrow u_n+6\\geq 8$) et la borne haute ($u_n\\leq 3 \\Rightarrow u_n+6\\leq 9$), puis prends la racine carrée.

3 Indice 3

Pour la limite, si $(u_n)$ converge vers $L$, alors $L$ vérifie $L=\\sqrt{L+6}$. Élève au carré pour obtenir une équation du second degré en $L$, et factorise-la.

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La méthode — par où commencer

Pour calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , remplace simplement dans la formule $u_{n + 1} = s q r t u_{n} + 6$ en partant de $u_{0} = 2$ .

Pour montrer la stabilité de $[2, 3]$ , étudie séparément la borne basse ( $u_{n} g e q 2 R i g h t a r r o w u_{n} + 6 g e q 8$ ) et la borne haute ( $u_{n} l e q 3 R i g h t a r r o w u_{n} + 6 l e q 9$ ), puis prends la racine carrée.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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